泰勒展开式怎么推出来的，泰勒公式在哪一章

一、泰勒公式怎么展开

如图：（注意“麦克劳林级数”是“泰勒级数”的特殊形式，是展开位置为0的泰勒级数）。

一阶导数，系数=1/(x+1)=1/(1+x0)。二阶导数，系数=-1/(1+x)^2=-1/(1+x0)^2

数学中，泰勒公式是一个用函数在某点的信息描述其附近取值的公式。如果函数足够平滑的话，在已知函数在某一点的各阶导数值的情况之下，泰勒公式可以用这些导数值做系数构建一个多项式来近似函数在这一点的邻域中的值。泰勒公式还给出了这个多项式和实际的函数值之间的偏差。

实际应用中，泰勒公式需要截断，只取有限项，一个函数的有限项的泰勒级数叫做泰勒展开式。泰勒公式的余项可以用于估算这种近似的误差。

泰勒展开式的重要性体现在以下五个方面：

1、幂级数的求导和积分可以逐项进行，因此求和函数相对比较容易。

2、一个解析函数可被延伸为一个定义在复平面上的一个开片上的解析函数，并使得复分析这种手法可行。

3、泰勒级数可以用来近似计算函数的值，并估计误差。

二、泰勒展开式的公式是什么

泰勒公式是一种用于近似计算函数在某一点附近的展开式。它可以用一组无限级数表示，并使用不同阶数的项来逐步逼近原始函数。以下是8个常用的泰勒公式展开：

f(x)= f(a)+ f'(a)*(x- a)+(1/2)* f''(a)*(x- a)²

f(x)= f(a)+ f'(a)*(x- a)+(1/2)* f''(a)*(x- a)²+(1/6)* f'''(a)*(x- a)³

sin(x)= x-(1/3!)* x³+(1/5!)* x⁵-(1/7!)* x⁷+…

cos(x)= 1-(1/2!)* x²+(1/4!)* x⁴-(1/6!)* x⁶+…

exp(x)= 1+ x+(1/2!)* x²+(1/3!)* x³+(1/4!)* x⁴+…

ln(1+x)= x-(1/2)* x²+(1/3)* x³-(1/4)* x⁴+…

这些泰勒展开公式可用于在给定点处对各种函数进行近似计算，尤其在数学和物理问题中广泛应用。注意，具体的展开项数取决于所需精度，更高阶的泰勒展开包含更多项，因此在计算中需要权衡精确度和计算效率。

三、泰勒展开公式是谁提出的

1、泰勒展开公式是谁提出的：英国数学家布鲁克·泰勒。

2、泰勒公式是高等数学中的一个非常重要的内容，它将一些复杂的函数逼近近似地表示为简单的多项式函数，泰勒公式这种化繁为简的功能，使得它成为分析和研许多数学问题的有力工具。

3、18世纪早期英国牛顿学派最优秀的代表人物之一的数学家泰勒，其主要著作是1715年出版的《正的和反的增量方法》，书中陈述了他于1712年7月给他老师梅钦信中提出的著名定理——泰勒定理。1717年,泰勒用泰勒定理求解了数值方程。

4、泰勒公式是从格雷戈里——牛顿插值公式发展而来，它是一个用函数在某点的信息描述其附近取值的公式。如果函数足够光滑,在已知函数某一点各阶导数的前提下,泰勒公式可以利用这些导数值作为系数构建一个多项式来近似该函数在这一点的邻域中的值。

5、1772年，拉格朗日强调了泰勒公式的重要性，称其为微分学基本定理，但是泰勒定理的证明中并没有考虑级数的收敛性，这个工作直到19世纪20年代，才由柯西完成。泰勒定理开创了有限差分理论，使任何单变量函数都可以展开成幂级。

6、泰勒公式是数学分析中重要的内容，也是研究函数极限和估计误差等方面不可或缺的数学工具，泰勒公式集中体现了微积分“逼近法”的精髓，在近似计算上有独特的优势。

7、利用泰勒公式可以将非线性问题化为线性问题，且具有很高的精确度，因此其在微积分的各个方面都有重要的应用。泰勒公式可以应用于求极限、判断函数极值、求高阶导数在某点的数值、判断广义积分收敛性、近似计算、不等式证明等方面。

四、泰勒公式在哪些地方展开使用的

在 x= 0处展开用麦克劳林展开式，在 x= a（a≠ 0）处展开用泰勒公式。

泰勒公式的使用条件：实际应用中，泰勒公式需要截断，只取有限项，一个函数的有限项的泰勒级数叫做泰勒展开式。泰勒公式是一个用函数在某点的信息描述其附近取值的公式。如果函数满足一定的条件，泰勒公式可以用函数在某一点的各阶导数值做系数构建一个多项式来近似表达这个函数。

泰勒展开式的重要性体现在以下五个方面：

1、幂级数的求导和积分可以逐项进行，因此求和函数相对比较容易。

2、一个解析函数可被延伸为一个定义在复平面上的一个开片上的解析函数，并使得复分析这种手法可行。

3、泰勒级数可以用来近似计算函数的值，并估计误差。

五、如何用泰勒公式展开

1、泰勒公式是一种将一个函数在某一点附近展开成无限项多项式的方法，其推导过程如下：

2、设$f(x)$在$x=a$处有$n$阶导数，则有：

3、$$f(x)=\sum_{k=0}^{n}\frac{f^{(k)}(a)}{k!}(x-a)^k+\frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}(x-a)^{n+1}$$

4、其中，$\xi$是$x$和$a$之间的某个值，即$x$和$a$之间的某个点。

5、这里解释一下上式中的各个符号：

6、-$f^{(k)}(a)$表示$f(x)$在$x=a$处的$k$阶导数；

7、-$(x-a)^k$表示$(x-a)$的$k$次方。

8、$$R_n(x)=f(x)-\sum_{k=0}^{n}\frac{f^{(k)}(a)}{k!}(x-a)^k$$

9、这里，我们将$f(x)$用其在$a$处展开成$n$次多项式来逼近它自己。然后，我们要证明当$n\rightarrow \infty$时，有：

10、也就是说，在无限次展开后，误差会趋近于零。

11、接着，我们对上式进行求导，并利用了求导的线性性质：

12、$$R_n^{(k)}(a)=f^{(k)}(a)-\sum_{j=0}^{n}\frac{f^{(j+k)}(a)}{j!}(a-a)^j=f^{(k)}(a)-f^{(k)}(a)=0$$

13、这里，我们用到了当$j<k$时，$f^{(j+k)}=0$。

14、$$R_n(x)=\frac{R_n^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}(x-a)^{n+1}$$

15、这里，我们用到了拉格朗日中值定理。注意到当$n\rightarrow \infty$时，$\xi$将趋近于$a$。因此，

16、$$\lim_{n\rightarrow \infty}R_n(x)=\lim_{n\rightarrow \infty}\frac{R_n^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}(x-a)^{n+1}=0$$

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